Учебный проект "Этот симметричный мир"

Автор проекта

Ермакова Ирина Юрьевна

Предмет, класс

Геометрия,10

Краткая аннотация проекта

Этот урок предлагаю провести вместе с учениками 10 класса с углубленным изучением химии и биологии. Провести урок в виде учебно-практической конференции. Ученики делятся на три группы экспертов:общественных наук,математики и естественных наук. "Математики" исследуют понятие симметрии с научной,математической точки зрения. "Эксперты естественных наук" рассматривают симметрию в окружающей природе. "Эксперты общественных наук"-в жизни человека.

Вопросы, направляющие проект

Основополагающий вопрос

Можно ли выявить связь математического понятия "симметрия" с практической деятельностью человека?

Проблемные вопросы

Может ли человек в своей жизни обойтись без симметрии?

Что такое симметрия,что для нее важно?

Необходимо ли знание математических фактов и законов для изучения внешнего мира?

Учебные вопросы

Что такое симметрия?

Какие бывают виды симметрии?

Как применяется симметрия в химии и биологии?

Какие примеры симметрии в окружающей нас жизни?

План проведения проекта

Подготовительный этап. Планирование проекта

Содержание Это интегрированный урок,который дает целостное представление об окружающем мире,помогает находить общие платформы сближения предметных знаний.Во время урока учащиеся получают знания,которые отражают связанность отдельных частей мира как системы.Ребята учатся с первых шагов обучения представлять мир как единое целое,в котором все элементы взаимосвязаны.Урок направлен на развитие эрудиции ребенка,на обновление существующей узкой специализации в обучении.За урок отчетливо выявляются связи математических понятий с практической деятельностью человека.

Деятельность учащихся Ученики заранее делятся на три группы экспертов:общественных наук,математики и естественных наук.Все три группы пишут рефераты. В рефератах ребята стараются показать и рассмотреть симметрию во всех ее аспектах.Каждая группа доказывает и рассказывает о симметрии со своей точки зрения.Затем они все вместе обсуждают полученные знания.

Деятельность учителя Учитель,изучив все рефераты,создает сценарий урока.Затем в заключении делает вывод,подводит итог всему сказанному.

Основной этап. Самостоятельная работа групп по выполнению заданий

Деятельность учащихся Учащиеся заранее за неделю готовят рефераты,которые они должны защитить,обосновать. В ходе конференции все вместе обсуждают,разбирают,доказывают.

Заключительный этап. Итоги

'Деятельность учителя

Мы убедились,что большинство растений и животных симметричны.Симметрия живых организмов и растений целиком обусловлена воздействием внешней среды,котороя принимает самое активное участие в формировании внешнего облика обитателей нашей планеты.

Земля имеет форму,близкую к форме шара.Силы земного тяготения направлены к центру Земли,образуя шаровую симметрию поля тяготения.Для шарообразных объектов характерно наличие бесконечного числа плоскостей симметрии.Чтобы симметрия созданий природы не вступала в конфликт с симметрией сил земного тяготения,ось тела любых организмов,которые обречены всю жизнь стоять неподвижно,расти или двигаться вертикально,должна обязательно совпадать с линией,образуемой пересечением плоскостей симметрии поля тяготения,проходящих через точку,к которой они прикреплены(или из которой движутся вертикально вверх).Поэтому они неизбежно приобретают осевую симметрию.Напротив,плоскостьсимметрии всего растущего или передвигающегося параллельно поверхности Земли должна обязательно совпадать с одной из бесчисленных плоскостей симметрии поля земного тяготения, а сам организм,следовательно,иметь билатеральную(двустороннюю,зеркальную)симметрию.Только мелкие,главным образом одноклеточные организмы,живущие в воде во взвешенном состоянии,находятся как бы в невесомости,ибо в какой-то мере избавлены от ига земного притяжения,а поэтому и могут приобретать шаровую,спиральную или другие типы симметрии.Можно сказать,что упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии,и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными.

Мы еще раз убеждаемся в том,что знание математических фактов и законов необходимо для изучения внешнего мира.

Оценивание работы участников

Учащиеся сами оценивают свои рефераты,дают им полный анализ. Одна группа учащихся высказывает свое мнение по выступлению других групп,анализирует их выступление. Ребята определяют достаточность выступления других групп. Оценивают слайды. Учитель подводит итог,выставляет оценки.

Вводная презентация (публикация) учителя

страница1

страница2

Визитная карточка проекта

Визитная карточка

Примеры продуктов проектной деятельности учащихся

Эксперты естественных наук.

Почему мы находим одни вещи красивыми,а другие нет?Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее?Кристи Тарлинктон-супермодель,признанная одной из самых красивых женщин в мире,-считает,что по большей части обязана своим успехом в качестве модели идеальной симметрии своих губ.Пропорция и симметрия объекта всегда необходимы нашему зрительному восприятию для того,Чтобы мы могли считать этот объект красивым.Баланс и пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии.Смотреть на симметричные изображения приятнее,нежели на асимметричные.

Экперты общественных наук.

Красота и гармония тесно связаны с симметрией,это подметили еще древние архитекторы и художники.Слово симметрия происходит от греческого слова,которое означает "такая же мера".Греческий скульптор Поликлет,очевидно,был первым,кто использовал этот термин еще в V в. до н. э.Во времена Пифагора(V в. до н.э.) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко.В то же время они смогли подвергнуть его серьезному анализу и получить результаты универсального назначения.

Отметим некоторые из них.

1.Для симметрии важны равенство,однообразие и пропорциональность:однообразно(в смысле подчинения какой-либо математической закономерности) располагая равные части,можно построить симметричную фигуру,скажем,квадрат из четырех равнобедренных треугольников.Если же нарушить закон однообразия в расположении равнобедренных треугольников,то мы получим уже менее симметричную,в пределе- асимметричную,фигуру.

2.Пифагорейцы выделили 10 пар противоположностей,среди них "правое"(D) и "левое"(L).Из этого следует,что,во-первых,понятия правого и левого в теории симметрии имеют фундаментальное значение:а)пользуясь D и L асимметричными образцовыми фигурами(например,запятыми неправильными треугольниками, тетраэдрами) и "размножая" их соответствующими элементами симметрии,можно построить теорию симметрии любого измерения.Сама же теория симметрии, с этой точки зрения,представляет как учение о симметрии специфических противоположностей - D и L;б)изучение природы с точки зрения D и L в дальнейшем привело к одной из важнейших проблем естествознания - к проблеме правизны и левизны.

Эксперты естественных наук

Выделим важный момент в учении пифагорейцев.Диалектичность и современность:"мир - множество,и состоит из противоположностей","то,что приводит противоположности к единству,и создает все в космосе",есть симметрия;симметрия заключается в числовых отношениях(математических).Сейчас создано несколько теорий симметрии противоположностей.Одна из них,Хенна-Шубникова,получившая широкое применение в кристаллографии,физике,биологии,так и называется - "теория антисимметрии".Законы симметрии,а в их число включаются и законы сохранения,"контролируют" ход,направление,результаты физических и химических реакций.Есть сведения,что особые законы сохранения "конторлируют" также биологические и логико-психологические процессы.Посредством принципов симметрии строятся(или уже построены) естественные классификации элементарных частиц(Гелл-Манн,Нееман и др.),атомов(таблица Менделеева),молекул,кристаллов(Гессель,Федоров и др.),организмов(Беклкмишев и др.).

Эксперты математики

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в XIX в.В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля(1855-1955)современное определение симметрии выглядит так:симметричным называется такой объект,который можно как-то изменять,получая в результате то же,с чего начали.Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям,выполняемым над ними.

Посмотрите на кленовый лист,бабочку,снежинку.Их объединяет то,что они симметричны.Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой,то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой(такой же,как исходная фигура).Поэтому такая симметрия называется зеркальной(или осевой,если речь идет о плоскости).Прямая,вдоль которой поставлено зеркало,называется осью симметрии.Если симметричную фигуру сложить вдоль оси симметрии,то ее части совпадут.

Эксперты общественных наук

У снежинки шесть осей симметрии.Наверное,она была бы совсем другой,если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве,архитектуре,технике,быту.Так,фасады многих зданий обладают осевой симметрией.В большинстве случаев симметричны(относительно оси или центра) узоры на коврах,тканях,обоях.

Эксперты естественных наук Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений,удивительно симметричны листья дуба,вербы,клена,крапивы.

Многие цветы обладают характерным свойством:цветок можно повернуть на некоторый угол так,что каждый лепесток займет положение соседнего,иными словами,цветок совместится сам с собой.Такой цветок обладает поворотной осью симметрии.Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков.Для цветка колокольчика он равен 72,для нарцисса - 60.Минимальный угол,на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии,чтобы он совместился с самим собой,называют элементарным углом поворота оси.

Симметрия у живых организмов(поворотная симметрия -медузы,морские звезды)служит не только для красоты;она прежде всего связанас приспособлением их к окружающему миру,с их жизнестойкостью.

Эксперты-математики

Поворотную ось можно охарактеризовать с помощью другой величины,называемой порядком оси.Эта величина показывает,сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360.Цветы колокольчика и нарцисса обладают осями пятого и шестого порядка соответственно.Обозначим элементарный угол поворота оси буквой а, а ее порядок буквой n.Тогда можно записать простое соотношение,которое связывает эти две величины: n=360/а.

Эксперты естественных наук

Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360.Это значит,что цветок обладает лишь осью первого порядка.А вот плоды(яблоко или груша)достаточно правильной формы могут оказаться совмещенными сами с собой при повороте на любой,в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси,идущей вдоль черенка(естественно,при условии некоторой идеализации их формы).

Если внимательно приглядеться к стеблю растения,то окажется,что и здесь действует закон симметрии.Стебель обладает винтовой осью симметрии.У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72.Листья на стебле располагаются по спирали так,чтобы,не мешая друг другу,воспринимать солнечный свет.Сумма двух предыдущих шагов спирали,начиная с вершины,равна величине последующего шага.

Оказывается,винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи,которые играют немаловажную роль в природе.

Эксперты-математики

Пифагор показал,что отрезок АВ единичной длины можно разделить на две части так,что отношение большей части(АС=х)к меньшей(СВ=1-х) будет равно отношению всего отрезка(АВ=1)к большей части(АС):АС/СВ=(АС-CB)/CB,то есть х/1-x=1/x.Отсюда х=1-х. Отношение в приведенной пропорции равно 1/x=ф=1,618033989...

Такое деление Пифагор назвал золотым делением,или золотой пропорцией,а Леонардо да Винчи - золотым сечением,общепринятым сейчас термином.Впоследствии учение о золотом сечении получило широкое применение в математике,эстетике,ботанике,технике.

В 1202г. вышло в свет сочинение "Liber abacci"("Книга об абаке") знаменитого итальянского математика Леонардр из Пизы,известного больше как Фибоначчи.В нем Фибоначчи,решая задачу о размножении кроликов,получает следующую знаменитую последовательность чисел: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377...

Эксперты общественных наук

Было обнаружено,что применяемая в ботанике для описания видов винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2,1/3,2/5,3/8,5/13,8/21,13/34,21/55,34/89..., во-первых,составлена из чисел ряда Фибоначчи;во-вторых,построена так,что числитель и знаменатель любой дроби,начиная с третьей,равны сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей;в-третьих,стремится к пределу 0,3817...=1/Ф=Ф;в-четвертых,фактически обозначает последовательность видов винтовых осей симметрии,применяемых в теории структурной симметрии для описания симметрии бесконечных фигур.

Эксперты общественных наук

Человеческое тело,так же как и тело других позвоночных,в основе своей построено зеркально симметрично.

На рисунке А.Дюрера "Изучение пропорций" хорошо видно: размеры отдельных частей тела человека(за единицу измерения выбрана голова)находятся в отношении1:2:3:5:8 и составляет ряд Фибоначчи.

Размеры головыобозначим - Г.Тогда плечи равны - 2Г,размах рук -8Г,бедро - 2Г,голень - 2Г,пояс-колени - 3Г,пояс-щиколотки - 5Г,макушка-ступня - 8Г,размах одной руки - 3Г.

С древних времен установлено,что столу человека принять за единицу измерения - фут,то рост человека составит 6 футов,а голова вместе с шеей - 1 фут.

Деление головы на характерные части дает целый ряд отношений,очень близких к золотому сечению.То же самое можно сказать о руке и ладони.

Эксперты естественных наук

Общие принципы строения организма человека заложены миллиарды лет назад, когда формировался генетический код и возникла первая клетка.В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб,первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных.Одним из признаков,переданных нам,является двухсторонняя симметрия человеческого тела.Среди врачей существует мнение,что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды,сколько генетически обусловленные нарушения конструкции тела."Симметричные" животные живут дольше,чем "несимметричные",что также говорит в пользу того,что симметрия - это показатель здоровья.Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству.Асимметрия лица - это показатель старения.

Эксперты общественных наук

"Пропорции человека" Леонардо да Винчи - известная работа, иллюстрирующая симметрию.

Эксперты естественных наук

Вернемся к винтовой,или спиральной симметрии.Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота,то есть перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта.Встречаются левые и правые винты.Примерами природных винтов являются:бивень нарвала - левый винт;раковина улитки - правый винт;рога памирского барана - один рог закручен по левой, а другой по правой спирали.Спиральная симметрия не бывает идеальной,например,раковина молюсков сужается или расширяется на конце.

Спиральную структуру емеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы - белки,дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК,являющиеся носителем наследственной информации в живом организме.Молекула ДНК емеет структуру двойной правой спирали.

Подлинным царством природных винтов является мир "живых молекул",к которым относятся прежде всего молекулы белков.Все части тела,включая кости,кровь,мышцы,сухожилия,волосы,содержат белки.Молекула белка представляет собой цепочку,составленную из отдельных блоков и закрученную по правой спирали.Ее называют альфа-спиралью.За открытие альфа-спирали американский ученый Лайнус Полинг получил Нобелевскую премию,самую высшую награду в научном мире.

Эксперты естественных наук

Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы.

Кристаллографы давно обратили внимание на то,что в кристаллографии запрещена ось пятого порядка.Она полностью исключена из неживой природы.Но эта ось повсюду присутствует в живом мире.То есть ось пятого порядка - симметрия жизни.

Не исключено,что атомы в неживой природе имеют наиболее компактную упаковку и минимум потенциальной энергии.В случае пятилучевой симметрии такой законченности нет,и появляется определенная степень свободы,в направлении которой возможно движение вещества и осуществление процесса обмена - одного из важнейших признаков жизни.Подавляющее большинство живых организмов обладает одним из трех видов:шаровидной,осевой,а более высокаразвитые существа - зеркальной симметрией.

Презентация экспертов общественных наук.

Презентация экспертов естественных наук.

Материалы по формирующему и итоговому оцениванию

Рефераты,литература,исследования,доказательства,слайды.

В начале проекта

Рефераты,разбивка детей на группы.

В ходе проекта

Слайды,картинки,обсуждения.

По окончании проекта

Заключительное слово учителя.

Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности

Литература

1.Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. - М.:Мысль,1974.

2.Шафрановский И.И. Симметрия в природе. - Л.:Недра,1985.

3.Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. -М.:Мир,1977.

4.Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.:Просвещение,1992.

5.Вейль Г. Симметрия. - М.:Наука,1968.

6.Зоркий П.М.Архитектура кристаллов. - М.:Наука,1968.

7.Джаффе Г. Орчин М. Симметрия в химии. - М.:Мир,1967.

8.Шубников А.В.,Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. - М.:1972.

9.Латышев Л. золотое сечение//На грани невозможного,2001,№14,с.!).